数学杂题解题思路及公式（二）

三十一，十字相乘法 
十字相乘法使用时要注意几点： 
第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 
（2007年国考）　某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是： 
A ．84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分 答案：A 
分析： 假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。男生与女生的比例是9：5。 
男生：Y 9 
75 
女生：X 5 
根据十字相乘法原理可以知道 
X=84 
6. （2007年国考）．某高校2006 年度毕业学生7650 名，比上年度增长2 % . 其中本科毕业生比上年度减少2 % . 而研究生毕业数量比上年度增加10 % , 那么，这所高校今年毕业的本科生有： 
A ．3920 人 B ．4410 人 C ．4900人 D ．5490 人 
答案：C 
分析：去年毕业生一共7500人。7650/（1+2%）=7500人。 
本科生：-2% 8% 
2% 
研究生：10% 4% 
本科生：研究生=8%：4%=2：1。 
7500*（2/3）=5000 
5000*0.98=4900 
此方法考试的时候一定要灵活运用 
三十二，兔子问题 
An=A(n-1)+A(n-2) 
已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一月内生出一对幼兔。如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对兔子？ 
析：1月:1对幼兔 
2月:1对成兔 
3月;1对成兔.1对幼兔 
4;2对成兔.1对幼兔 
5;;3对成兔.2对幼兔 
6;5对成兔.3对幼兔....... 
可看出规律:1,1,2,3,5,8(第三数是前两数之和),可求出第12项 
为:13,21,34,55,89,144，答:有144只兔 
三十三，称重量砝码最少的问题 
例题：要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？ 
分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。 
（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。 
（2）称重2克，有3种方案： 
①增加一个1克的砝码； 
②用一个2克的砝码； 
③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。 
（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。 
（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。 
（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用 
9-（3+1）=5，即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。 
而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为 
14+13=27（克）， 
可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。 
总之，砝码重量为1，3，9，27克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。 
三十三，文式图 
红圈： 球赛。 蓝圈： 电影 绿圈：戏剧。 
X表示只喜欢球赛的人； Y表示只喜欢电影的人； Z表示只喜欢戏剧的人 
a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧 
b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛 
c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项 不喜欢电影。 
中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。我们用 T表示。 
回顾上面的7个部分。X，y，z，a，b，c，T 都是相互独立。互不重复的部分 
现在开始对这些部分规类。 
X＋y＋z＝是只喜欢一项的人 我们叫做 A 
a+b+c＝是只喜欢2项的人 我们叫做B 
T 就是我们所说的三项都喜欢的人 
x＋a＋c＋T＝是喜欢球赛的人数 构成一个红圈 
y＋a＋b＋T＝是喜欢电影的人数 构成一个蓝圈 
z＋b＋c＋T＝是喜欢戏剧的人数 构成一个绿圈 
三个公式。 
（1） A＋B＋T＝总人数 
（2） A＋2B＋3T＝至少喜欢1个的人数和 
（3） B＋3T＝至少喜欢2个的人数和 
例题：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。 
通过这个题目我们看 因为每个人都至少喜欢三项中的一项。则我们用三个圈红，绿，蓝代表球赛。戏剧、和电影。 
A＋B＋T＝100 A＋2B＋3T＝148 T＝12 
则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的 
A=64 B=24 
典型例题：甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（ ）题? 
A、6 B、5 C、4 D、3 
【解析】第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的 
我们设a表示简单题目， b表示中档题目 c表示难题 
a＋b＋c＝20 
c＋2b＋3a＝12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的 
将a＋b＋c＝20变成 2a＋2b＋2c＝40 减去 上面的第2个式子 
得到： c－a＝4 答案出来了 
可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当当完全了解熟练运用a＋2b＋3c这个公式时，你会发现再难的题目也不会超过1分钟。 
三十四，九宫图问题 
此公式只限于奇数行列 

步骤1：按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写！ 

步骤2： 然后将3×3格以外格子的数字折翻过来， 
最左边的放到最右边，最右边的放到最左边 
最上边的放到最下边，最下边的放到最上边 
这样你再看中间3×3格子的数字是否已经满足题目的要求了 呵呵！