数学杂题解题思路及公式（一）

一．页码问题 
对多少页出现多少1或2的公式 
如果是X千里找几，公式是 1000+X00*3 如果是X百里找几，就是100+X0*2，X有多少个0 就*多少。依次类推！请注意，要找的数一定要小于X ，如果大于X就不要加1000或者100一类的了， 
比如，7000页中有多少3 就是 1000+700*3=3100（个） 
20000页中有多少6就是 2000*4=8000 （个） 
友情提示，如3000页中有多少3，就是300*3+1=901，请不要把3000的3忘了 
二，握手问题 
N个人彼此握手，则总握手数 
S＝（n-1）{a1+a(n-1)}/2=（n-1）{1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2 =N×（N-1）/2 （苏霖注：即C（n,2））
例题： 
某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次， 请问这个班的同学有（ ）人 
A、16 B、17 C、18 D、19 
【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取3＝152 但是在计算X时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－3次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-3）次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数是x×（x-3）÷2＝152 计算的x＝19人 
三，钟表重合公式 
钟表几分重合，公式为： x/5=(x+a)/60 a时钟前面的格数 
四，时钟成角度的问题 
设X时时，夹角为30X ， Y分时，分针追时针5.5，设夹角为A.（请大家掌握） 
钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。 
1.【30X－5.5Y】或是360－【30X-5.5Y】 【】表示绝对值的意义（求角度公式） 
变式与应用 
2.【30X－5.5Y】=A或360－【30X-5.5Y】=A （已知角度或时针或分针求其中一个角） 
五，往返平均速度公式及其应用（引用） 
某人以速度a从A地到达B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b )。 
证明：设A、B两地相距S，则 
往返总路程2S，往返总共花费时间 s/a+s/b 
故 v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b) 
六，空心方阵的总数 
空心方阵的总数＝ （最外层边人(物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4 
＝ 最外层的每一边的人数^２－（最外层每边人数－2*层数）^２ 
＝每层的边数相加×4－4×层数 
空心方阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数 
方阵的基本特点： ① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层边上的人数就少2； 
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系： 
③ 中实方阵总人（或物）数=(每边人（或物）数)2=（最外层总人数÷4+1）2 
例：① 某部队排成一方阵，最外层人数是80人，问方阵共有多少官兵？（441人） 
② 某校学生刚好排成一个方队，最外层每边的人数是24人，问该方阵有多少名学生？（576名）解题方法：方阵人数＝（外层人数÷4+1）2＝（每边人数）2 
③ 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？（289人） 
解题方法：去掉的总人数＝原每行人数×2－1＝减少后每行人数×2+1 
典型例题：某个军队举行列队表演，已知这个长方形的队阵最外围有32人，若以长和宽作为边长排出2个正方形的方阵需要180人。则原来长方形的队阵总人数是（ ） 
A、64， B、72 C、96 D、100 
【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。长方形的（长＋宽）×2＝32＋4 得到长＋宽＝18。 可能这里面大家对于长＋宽＝18 有些难以计算。 你可以假设去掉4个点的人先不算。长＋宽（不含两端的人）×2＋4（4个端点的人）＝32 ， 则计算出不含端点的长＋宽＝14 考虑到各自的2端点所以实际的长宽之和是14＋2＋2＝18 。 求长方形的人数，实际上是求长×宽。根据条件 长×长＋宽×宽＝180 综合（长＋宽）的平方＝长×长＋宽×宽＋2×长×宽＝18×18 带入计算即得到B。其实在我们得到长宽之和为18时，我们就可以通过估算的方法得到选项B 
七，青蛙跳井问题 
例如：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井？（6） 
②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠？（7） 
总解题方法：完成任务的次数＝井深或绳长 - 每次滑下米数（遇到半米要将前面的单位转化成半米） 
例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。 
完成任务的次数＝（总长-单长）/实际单长+1 
八，容斥原理 
总公式：满足条件一的个数＋满足条件2的个数－两个都满足的个数＝总个数－两个都不满足的个数 
【国2006一类-42】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人？ A.27人 B.25人 C.19人 D.10人 
上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”，这类问题一般比较简单，使用容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较高，而画图浪费时间比较多。鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出，下面华图名师李委明给出一个通解公式，希望对大家解题能有帮助： 
例如上题，代入公式就应该是：40+31-x=50-4，得到x=25。我们再看看其它题目：【国2004A-46】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少？A.22 B.18 C.28 D.26 
代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22 
九，传球问题  
传球问题核心公式 
N个人传M次球，记X=[（N-1）^M]/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。 
四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式： 
　　A.60种 B.65种 C.70种 D.75种 
x=(4-1)^5/4 x=60 
十，圆分平面公式： 
N^2-N+2,N是圆的个数 
十一，剪刀剪绳 
对折N次，剪M刀，可成M*2^n+1段 （苏霖注：证明方法可采用数线头的方法）
将一根绳子连续对折3次,然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后,原来的绳子被剪成了几段? 
A．18段 B．49段 C．42段 D．52段 
十二，四个连续自然数， 
性质一，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除 
性质二，他们的积+1是一个奇数的完全平方数 
十三，骨牌公式 
公式是：小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号 
十四，指针重合公式 
关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S（S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书，确定S后算出T的最大值知道相遇多少次。） 
十五，图色公式 
公式：（大正方形的边长的3次方）—（大正方形的边长—2）的3次方。 
十六，装错信封问题 
小明给住在五个国家的五位朋友分别写信，这些信都装错的情况共有多少种 44种 
f（n）=n！（1-1/1！+1/2!!-1/3!......+（-1）n（1/n！）） 
或者可以用下面的公式解答 
装错1信 0种 
装错2信：1种 
3 2 
4 9 
5 44 
递推公式是S(n)=n.S(n-1)+(-1)^n~~~~~ （苏霖注：递推公式也可以是Sn=（n-1）*（S(n-1)+S(n-2)）
如果是6封信装错的话就是265~~~~ 
十七，伯努利概率模型 
某人一次涉及击中靶的概率是3/5，设计三次，至少两次中靶的概率是 
集中概率3/5，则没集中概率2/5，即为两次集中的概率+三次集中的概率 
公式为 C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0] 
81/125 
十八，圆相交的交点问题 
N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析 N*(N-1) 
十九，约数个数问题 
M=A^X*B^Y 则M的约数个数是 
（X+1）（Y+1） 
360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？ 
解〕360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一个约数都等于至多三个2（可以是零个，下同），至多两个3和至多一个5的积。如果我们把下面的式子 
（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5） 
展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看出，360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。由于第一个括号里有4个数，第二个括号里有3个数，第三个括号里有2个数，所以这个展开式中的加数个数为4×3×2=24，而这也就是360的约数的个数。另一方面，360的所有约数的和就等于这个展开式的和，因而也就等于 
（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5） 
=15×13×6=1，170 
答：360的约数有24个，这些约数的和是1，170。 （苏霖注：好方法！）
甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？ 
解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数. 
　2800＝24×52×7. 
在它含有的约数中是完全平方数，只有 
1，22，24，52，22×52，24×52. 
在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）. 
2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112. 
二十，吃糖的方法 
当有n块糖时，有2^(n-1)种吃法。 
二十一，隔两个划数 
1987=3^6+1258 
1258÷2×3+1=1888 
即剩下的是1888 
减去1能被3整除 
二十二，边长求三角形的个数 
三边均为整数，且最长边为11的三角形有多少个？ 
[asdfqwer]的最后解答： 
11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1; 
11,10,10;11,10,9;...11,10,2; 
11,9,9;...11,9,3; 
11,8,8;...11,8,4; 
11,7,7,...11,7,5; 
11,6,6; 
1+3+5+7+9+11=6^2=36 
如果将11改为n的话， 
n=2k-1时，为k^2个三角形； 
n=2k时，为(k+1)k个三角形。