数学杂题解题思路及公式（三）

三十六，计算错对题的独特技巧 
例题：某次考试有30道判断题，每做对一道题得4分，不做的不得分，做错一道题倒扣2分 小明得分是96分，并且小明有题目没做，则小明答对了几道试题（） 
A 28 B 27 C 26 D25 正确答案是 D 25题 
我们把一个答错的和一个不答的题目看成一组，则一组题目被扣分是6＋4＝10 
解释一下6跟4的来源 
6是做错了不但得不到4分还被扣除2分 这样里外就差4＋2＝6分 
4是不答题 只被扣4分，不倒扣分。 
这两种扣分的情况看着一组 
目前被扣了30×4－96＝24分 
则说明 24÷10＝2组 余数是4 
余数是4 表明2组还多出1个没有答的题目 
则表明 不答的题目是2＋1＝3题，答错的是2题 
三十七，票价与票值的区别 
票价是P（ 2，M） 是排列 票值是C（2，M） 
三十八，两数之间个位和十位相同的个数 
1217到2792之间有多少个位数和十位数相同的数？ 
从第一个满足条件的数开始每个满足条件的数之间都是相差11 
方法一： 
看整数部分1217～2792 
先看1220～2790 相差1570 则有这样规律的数是1570÷10＝157个 
由于这样的关系 我总结了一个方法 给大家提供一个全新的思路 
方法二： 
我们先求两数差值 2792－1217＝1575 
1575中有多少11呢 1575÷11＝143 余数是2 
大家不要以为到这里就结束了 其实还没有结束 
我们还得对结果再次除以11 直到所得的商小于11为止 
商+余数再除以11 
（143＋2）÷11＝13 余数是2 
（13＋2）÷11＝1 因为商已经小于11，所以余数不管 
则我们就可以得到个数应该是143＋13＋1＝157 
不过这样的方法不是绝对精确的，考虑到起始数字和末尾数字的关系。 误差应该会在1之间！不过对于考公务员来说 误差为1 已经可以找到答案了！ 
三十九，搁两人握手问题 （苏霖注：与前面的题目重复了 呵呵）
某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次， 请问这个班的同学有（ ）人 
A、16 B、17 C、18 D、19 
【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取3＝152 但是在计算X时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－3次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-3）次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际握手次数是x×（x-3）÷2＝152 计算的x＝19人 
四十，溶液交换浓度相等问题 
设两个溶液的浓度分别为A％，B％并且 A＞B 设需要交换溶液为X 
则有：（B－X）：X＝X：（A－X） 
A：B=（A-X）：X 
典型例题：两瓶浓度不同得盐水混合液。60％的溶液是40克，40％的溶液是60克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换（ ）克的溶液？ 
A、36 B、32 C、28 D、24 
【解析】答案选D 我们从两个角度分析一下，假设需要交换的溶液为a克。则我们来一个一个研究，先看60％的溶液 相对于交换过来的a克40％的溶液 可以采用十字交叉法来得出一个等式 即（再设混和后的标准浓度是p） 
40－a ：a＝（P－40％ ） ：（60％－P） 
同理我们对40％的溶液进行研究 采用上述方法 也能得到一个等式： 
60－a ：a＝（60％－P） ：（P－40％） 
一目了然，两者实际上是反比，即40－a ：a＝a ：60－a 解得 a＝24 即选D 
如果你对十字交叉法的原理理解的话 那么这个题目中间的过程完全可以省去。所以说任何捷径都是建立在你对基础知识的把握上。 
解法二： 干脆把2个溶液倒在一起混和，然后再分开装到2个瓶子里 这样浓度也是相等的。我们根据十字交叉法 ，60跟40的溶液混合比例 其实跟交换的x克60％溶液与剩下60－x克40％的溶液比例成反比，则60：40＝60－x：x解 X＝24克 
四十一，木桶原理 
一项工作由编号为1～6的工作组来单独完成，各自完成所需的时间是：5天，7天，8天，9天，10.5天，18天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来共同完成。则需要（ ）天？ 
A、2.5 B、3 C、4.5 D、6 
【解析】这个题目就是我们常说的“木桶效应”类型的题目。 “木桶效应”概念来自于经济学中的称呼。意思是一个木桶是由若干个木板拼凑起来的。其存水量取决于最短的那块木板。 这个题目我们看 该项工作平均分配给了每个小组，则每个小组完成1/6的工作量。他们的效率不同 整体的时间是取决于最慢的那个人。当最慢的那个人做完了，其它小组早就完成了。18天的那个小组是最慢的。所以完成1/6需要3小时，选B 
例题：一项工作，甲单独做需要14天，乙单独做需要18天，丙丁合做需要8天。则4人合作需要（ ）天？ 
A、4 B、 5 C、6 D、7 
【解析】 题目还是“木桶效应”的隐藏运用。我们知道甲乙的各自效率。但是丙丁不知道，根据合做的情况 并且最后问的也是合作的情况。我们不妨将其平均化处理。也就是说 两个人的平均效率是16天。那么这里效率最差的是18天。大家都是18天 则4人合作需要18÷4＝4.5天。可见最差也不会超过4.5天，看选项只有A满足 
四十二，坏钟表行走时间判定问题 
一个钟表出现了故障，分针比标准时间每分钟快6秒，时针却是正常的。上午某一时刻将钟表调整至标准时间。经过一段时间 发现钟表的时刻为晚上9：00 请问钟表在何时被调整为标准时间？ 
A、10：30 B、11：00 C、12：00 D、1：30 
【解析】此题也是比较简单的题目。我们看因为每分钟快6秒则1个小时快60×6＝360秒即6分钟。当9：00的时候 说明分针指在12点上。看选项。其时针正常，那么相差的小时数是正常的，A选项差10.5个小时即 分针快了10.5×6＝63分钟。则分针应该在33分上。错误！ 同理看B选项 相差10个小时 即10×6＝60分钟，刚好一圈，即原在12上，现在还在12上选B，其它雷同分析。 
四十三，双线头法则问题 
设做题的数量为S 做对一道得X分 做错一道扣Y分 不答不得分 
竞赛的成绩可能值为N 令T=（X+Y）/Y 
则N={[1+（1+S）]*（1+S）}/2-{[1+（S-T+1）]*（S-T+1）}/2 
某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是每一题答对得4分，答错一道扣2分，不答不得分，设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？ 
A、28 B、30 C、32 D、36 
【解析】该题是双线段法则问题【（1＋11）×11÷2 】－【（1＋8）×8÷2】＝30 
所谓线段法则就是说，一个线段上连两端的端点算在内共计N个点。问这个线段一共可以行成多少线段。计算方法就是（N－1）×N÷2，我看这个题目。我们按照错误题目罗列大家就会很清楚了 
答对题目数 可能得分 
10 40 
9 36，34 
8 32，30，28 
7 28，26，24，22 
6 24，22，20，18，16 
5 20，18，16，14，12，10 
4 16，14，12，10， 8， 6，4 
3 12，10， 8， 6， 4， 2，0， －2 
2 8， 6， 4， 2， 0，－2，－4，－6，－8 
1 4，2，0，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14， 
0 0，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14，－16，－18，－20 
这样大家就不难发现可能得分的情况随着答对题目数量的减少，或者说答错题目的增多。呈现等差数列的关系，也就是线段法则的规律。然后从第7开始出现了重复数字的产生。也是随着题目的答错数量的增加而等差增加。这是隐藏的线段法则。所以称之为双线段法则应用。 
回归倒我一看的题目 大家可能要问，后面【】里面的8从什么地方来的？ 这就是确定重复位置在哪里的问题。 （得分分值＋扣分分值）÷扣分分值＝3 即当错3题时开始出现重复数字。也就是隐形线段法则的起始端。10－3＝7 就是说 从0～8之间有多少个间隔就有多少个重复组合。 
四十四，两人同向一人逆相遇问题 
典型例题：在一条长12米的电线上,红,蓝甲虫在8:20从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬行去,黄虫以每分钟15厘米的速度从右端向左爬去,红虫在什么时刻恰好在蓝虫和黄虫的中间? 
A 8:55 B 9:00 C 9:05 D 9:10 
公式总结；设同向的速度分别为A B 逆向的为C 时间为T 
则T=A+[（A-B）/2+C]*T=S 
四十五，往返行程问题的整体求解法 
首先两运动物体除第一次相遇行S外，每次相遇都行使了2S。 
我们可以假设停留的时间没有停留，把他计入两者的总路程中 
化静为动巧求答 
例题：1快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时？ 
解法：根据往返相遇问题的特征可知，从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的2倍，假设快车不在乙站停留0.5小时，慢车不在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为600×2+60×0.5+40×1=1270（千米），故此期间所经时间为1270÷（60+40）=12.7（小时） 
2 甲乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米？ 
解法：根据题意可知甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇（乙未到西镇，无返回现象），故两人所行路程总和为（90×2=）180（千米），但因甲到西镇用了1小时办事。倘若甲在这1小时中没有停步（如到另一地方买东西又回到西镇，共用1小时），这样两人所行总路程应为： 
90×2+30=210（千米），又因两人速度和为30+10=40（千米），故可求得相遇时间为：（210÷40=）5.25（小时），则乙行了（10×5.25=）52.5（千米）。 
3 甲、乙两人同时从东西两镇相向步行，在距西镇20千米处两人相遇，相遇后两人又继续前进。甲至西镇、乙至东镇后都立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇距离？ 
解法一 设东西两镇相距为x千米，由于两次相遇时间不变，则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程： 

所以东西两镇相距45千米。 
解法二 紧扣往返行程问题的特征，两人自出发至第二次相遇所走路程总和为东西两镇距离的3倍，而第一次相遇距西镇20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，则从出发至第二次相遇乙共走（20×3=）60（千米），第二次相遇时乙已从东镇返回又走了15千米，所以，两镇的距离为（20×3-15=）45（千米） 
四十六，行船问题快解 
例题：一只游轮从甲港顺流而下到乙港，马上又逆水返回甲港，共用8小时，顺水每小时比逆水每小时多行12千米，前4小时比后4小时多行30千米。甲、乙两港相距多少千米？A.72 B.60 C.55 D.48 
解析：30/12=5/2，8-5/2=11/2 
(12/2)*1/[(2/5-2/11)/2]=55 
四十七，N条线组成三角形的个数 
n条线最多能画成几个不重叠的三角形 F(n)＝F(n－1)＋ F(n－2) 如 f（11）＝19 
四十七，边长为ABC的小立方体个数 
边长为ABC的长方体由边长为1的小立方体组成，一共有abc个小立方体，露在外面的小立方体共有 abc－（a－2）（b－2）（c－2） 
四十八，测井深问题 
用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米。那么，绳子长多少米? 
解答：（2*9-3*2）/(3-2)=12 
（折数*余数-折数*余数）/折数差=高度 
绳长=（高度+余数）*折数=（12+9）*2=42 
四十九，分配对象问题 
（盈+亏）/分配差 =分配对象数 
有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配2个螺母，则多10个螺母；若1个螺丝配3个螺母，则少6个螺母。共有多少个螺丝？( )A.16 B.22 C.42 D.48 
解析：A，（10+6）/（3-2）=16 
若干同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若每船5人则船上空4个坐位，共有( )位同学A.17 B.19 C.26 D.41 
解析：D，（5+4）/（5-4）=9 ，4*9+5=41