数学杂题解题思路及公式（二）
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三十五，用比例法解行程问题
行程问题一直是国家考试中比较重要的一环，其应用之广恐无及其右者。行程问题的计算量按照基础做法不得不说非常大。所以掌握简单的方法尤为重要。当然简单的方法需要对题目的基础知识的全面了掌握和理解。
在细说之前我们先来了解如下几个关系：
路程为S。速度为V 时间为T
S＝VT V＝S/T T＝S/V
S相同的情况下： V跟T成反比
V相同的情况下： S跟T成正比
T相同的情况下： S跟V成正比
注：比例点数差也是实际差值对应的比例！ 理解基本概念后，具体题目来分析
例一、甲乙2人分别从相距200千米的AB两地开车同时往对方的方向行驶。到达对方始发点后返回行驶，按照这样的情况，2人第4次相遇时甲比乙多行了280千米 已知甲的速度为60千米每小时。则乙的速度为多少？
分析：这个题目算是一个相遇问题的入门级的题目。我们先从基础的方法入手，要多给自己提问 求乙的速度 即要知道乙的行驶路程S乙，乙所花的时间T乙。这2个变量都没有告诉我们，需要我们去根据条件来求出：
乙的行驶路程非常简单可以求出来。因为甲乙共经过4次相遇。希望大家不要嫌我罗嗦。我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给大家。
第一次相遇情况
A（甲）．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（甲）C（乙）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B（乙）
AC即为第一次相遇 甲行驶的路程。 BC即为乙行驶的路程
则看出 AC＋BC＝AB 两者行驶路程之和＝S
第2次相遇的情况
A．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（乙）D（甲）。。。。。。C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B
在这个图形中，我们从第一次相遇到第2次相遇来看甲从C点开始行驶的路线是C－B－D，其路程是 BC＋BD
乙行驶的路线则是C－A－D 其行驶的路程是AC＋AD
可以看出第2次相遇两者的行驶路程之和是BC＋BD＋AC＋AD＝（BC＋AC）＋（BD＋AD）＝2S ，同理第3，4次相遇都是这样。
则我们发现 整个过程中，除第一次相遇是一个S外。其余3次相遇都是2S。总路程是2×3S＋S＝7S
根据题目，我们得到了行驶路程之和为7×200＝1400
因为甲比乙多行驶了280千米 则可以得到 乙是（1400－280）÷2＝560 则甲是560＋280＝840
好，现在就剩下乙的行驶时间的问题了。因为两个人的行驶时间相同则通过计算甲的时间得到乙的时间 即 840÷60＝14小时。
所以T乙＝14小时。 那么我就可以求出乙的速度V乙＝S乙÷T乙＝560÷14＝40
说道这里我需要强调的是，在行程问题中，可以通过比例来迅速解答题目。
比例求解法：
我们假设乙的速度是V 则根据时间相同，路程比等于速度比，
S甲：S乙＝V甲：V乙 衍生出如下比例：（S甲＋S乙）：（S甲－S乙）＝（V甲＋V乙）：（V甲－V乙）
得出 1400：280＝（60＋V）：（60－V）解得 V＝40
例二、甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3 ，而乙车则增速1/3 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？
A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310
【解析】 我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等
160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方 N代表了次数 解得N＝3 说明第三次相遇即达到速度相等
第一次相遇前： 开始时速度是160：20＝8：1 用时都一样，则路程之比＝速度之比
我们设乙行驶了a千米 则 （a＋210 ） ： a ＝ 8：1 解得 a＝30
第二次相遇前： 速度比是 甲：乙＝4：1 用时都一样， 则路程之比＝速度之比
我们设乙从第1次相遇到第2次相遇行驶了b千米 则 （b＋210 ） ： b ＝ 4：1 解得 a＝70
第三次相遇前：速度比是 甲：乙＝2：1 用时都一样， 则路程之比＝速度之比
我们设乙从第2次相遇到第3次相遇行驶了c千米 则 （c＋210 ） ： c ＝ 2：1 解得 c＝210
则三次乙行驶了 210＋70＋30＝310千米
而甲比乙多出3圈 则甲是 210×3＋310＝940
则 两人总和是 940＋310＝1250
例三、一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小时30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了10分钟，甲、乙两城相距多远？
【解析】我们知道多出来的10分钟即1/6小时是在最后1/4差5千米的路程里产生的 ，则根据路程相同
速度比等于时间比的反比
即 T30：T40＝40：30＝4：3
所以30千米行驶的最后部分是用了 1/6×（4－3）×4＝2/3小时
即路程是30×2/3=20千米
总路程是(20＋5)÷1/4=100
例四、甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上?
A. 14 B.16 C.112 D.124
【解析】 甲摇浆10次时乙摇浆8次 知道甲乙速度之比=5：4
而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲：乙＝7：9
所以，我们来看 相同时间内甲乙得距离之比，5×7：4×9＝35：36
说明，乙比甲多出1个比例单位
现在甲先划桨4次， 每浆距离是7个单位，乙每浆就是9个单位， 所以甲领先乙是4×7＝28个单位 ，事实上乙每4浆才能追上36-35＝1个单位，
说明28个单位需要28×4＝112浆次追上！ 选C
例五、甲乙两个工程队共100人,如果抽调甲队人的1/4至乙队,则乙队比甲队多了2/9,问甲队原来多少人?
这个题目其实也很简单，下面我说一个简单方法
【解析】 根据条件乙队比甲队多了2/9 我们假设甲队是单位1，则乙队就是1＋2/9＝11/9 ，100人的总数不变
可见 甲乙总数是1＋11/9=20/9 （分母不看）
则100人被分成20分 即甲是100÷20×9＝45 乙是 55
因为从甲队掉走1/4 则剩下的是3/4 算出原来甲队是 45÷3/4＝60
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