数学运算之余数问题知识框架

数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。余数问题是计算问题中数的性质里面的一种。

　　公务员考试中余数问题一般只有两种类型，只要理解题目，掌握解题的基本方法，便能轻松搞定这类问题。

核心点拨

　　1、题型简介

　　公务员考试中常见的题型是给出相关的已知条件，计算出余数。

　　2、核心知识

　　被除数=除数×商+余数(都是正整数)

　　(1)一个被除数，多个除数

　　A、基本形式——中国剩余定理

　　原型：

　　《孙子算经》记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”

　　基本解法——层层推进法：

　　以上题为例，满足除以3余2的最小数为2;

　　在2的基础上每次加3，直到满足除以5余3，这个最小的数为8;

　　在8的基础上每次加3、5的最小公倍数15，直到满足除以7余2，这个最小的数为23。

　　所以满足条件的最小自然数为23，而3、5、7的最小公倍数为105，故满足条件的数可表示为105n+ 23(n=0，1，2，…)。

　　B、特殊形式——余同、和同、差同

　　特殊形式的口诀：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数为最小周期。

　　(2)多个被除数，一个除数

　　A、同余

　　两个整数a、b除以自然数m(m>1)，所得余数相同，则称整数a、b对自然数m同余，记做

( cmod m)。例如：23除以5的余数是3，18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。

　　同余的特殊性质：在同余的情况下(a-b)必能被m整除，所得的商为两数商之差。例如：

，那么

。

　　B、不同余

　　两个整数a、b除以自然数m(m>1)，所得余数不相同，则称整数a、b对自然数m不同余。

　　同余和不同余的三个重要的性质——可加性，可减性，可乘性。

　　对于同一个除数m，两个数和的余数等于余数的和，两个数差的余数等于余数的差，两个数积的余数等于余数的积。

　　3、核心知识使用详解

　　(1)一个数被2(或5)除得到的余数，就是其末一位数字被2(或5)除得到的余数。

　　(2)一个数被4(或25)除得到的余数，就是其末两位数字被4(或25)除得到的余数。

　　(3)一个数被8(或125)除得到的余数，就是其末三位数字被8(或125)除得到的余数。

　　(4)一个数被3(或9)除得到的余数，就是其各位数字之和被3(或9)除得到的余数。