数量关系之植树问题

　一、常规植树问题

　　普通植树问题的关键在于不要忘记考虑端点，把2米的线段分成1米的在中间位置点一个点即可，但线段本身有两个端点。

　　同理的，把3米的线段分成1米一段的共能分成3段，仅需要2个点，线段本身有2个端点：

　　【例1】包含端点：

　　某市计划在100米长的道路两边每隔10米种植一棵树，一共需要多少棵树苗?

　　A.10　　B.11　　C.20 　D.22

　　答案：D

　　解析：每隔10米种植一棵树，我们可以想象，在10米的线段两端各有一个端点，共两个端点，如果是20米的线段中点把它分成两个10米，还有两个端点2+1=3，在100米的道路上100÷10=10共有10个10米长的空隙，因此需要树苗的个数为10-1+2=11棵，由于两边都有种树，11×2=22棵。

　　含端点直线的植树公式为：种树棵树=植树距离÷两树间距+1

　　【例2】不含端点：

　　为照明需要，某市计划在相隔2000米的两个老路灯中间每隔40米新增一盏路灯，一共需要准备多少盏新路灯?

　　A.48　　B.49　　C.50　　D.51

　　答案：B

　　解析：2000米中共包含40米的个数为：2000÷40=50段，也就是说在这段路程中一共有50个空隙，要把线段分成50段，我们需要点的个数为50-1=49个，因此需要新增设路灯49盏。

　　不含端点直线的植树公式为：种树棵树=植树距离÷两树间距-1

　　【例3】变形：

　　张大爷早晨以不变的速度沿着均匀种植柳树的河边散步，他从第一棵树走到第61棵树用了24分钟，他又向前走了10分钟决定回家，这时他走到第几棵树的位置了?

　　A.84　　B.85　　C.86　　D.87

　　答案：C

　　解析：从第1棵树到第61棵树中间一共有60个空隙，走过60个空隙张大爷用时24分钟，因此走过1个空隙需要24÷60=0.4分钟，10分钟走过空隙的个数为：10÷0.4=25个，因此张大爷此时走到了第61+25=86棵树的位置。

　　二、环形(封闭曲线)植树问题

　　6米周长的圆形分为3米长的两部分，需要点6÷3=2个点；分为2米长的3部分需要点6÷2=3个点。

　　因此：

　　环形(封闭曲线)上的植树数目=种树距离÷两树间距

　　【例1】某社区准备在周长为270米的圆形花坛周围每隔着3米种植一朵玫瑰花，一共需要准备多少朵玫瑰花?

　　A.89　　B.90　　C.91　　D.92

　　答案：B

　　解析：按照圆形上的种树公式有270÷3=90

　　【例2】边长为49米的正方形花坛周围准备每隔7米装上一个浇水器，需要浇水器的数量是多少个?

　　A.24 　B.28　　C.29　　D.32

　　答案：B

　　解析：正方形的曲线也是封闭曲线，按照公式计算，植树棵树=49×4÷7=28.

　　三 、植树问题与公约数，公倍数

　　【例1】某工程队按图纸进行绿化工作在200米的道路两旁植树，完成工程后发现，计划书上两树间距应为4米，而施工过程是按5米种植的，现在需要重新进行绿化工作，在这个过程中有多少棵树不用再挪动?

　　答案：22棵

　　解析：施工过程两树间距为5米，也就是在路尽头中了一棵树，第5米种植第二棵，第10米种植第三棵，也就是在5的整倍数位置就种一棵树。而按照计划，应该在4的整倍数位置就种一棵树。因此，不需要挪动的树所在位置应该既是5的倍数，也是4的倍数，即为4,5的公倍数。它们的最小公倍数为20，其它公倍数应为20的整备数。也就是凡是20倍数位置的树不需挪动。200÷20=10，还需加上起点位置10+1=11。道路有两边：11×2=22.

　　【例2】施工队要在一东西长600米的礼堂顶部沿东西方向安装一排吊灯，根据施工要求，必须在距西墙375米处安装一盏，并且各吊灯在东西墙之间均匀排列(墙角不能装灯)。该施工队至少需要安装多少盏吊灯?

　　A.6　　B.7　　C.8　　D.9

　　答案：B

　　解析：

　　已经有一盏灯位置确定了，它距离西墙375米，距离东墙600-375=225米。问题转化为我们再375米和225米的空间内均匀的安装等，我们首先很容易想到每隔1米安一盏肯定可以，但是这样需要的灯数目就很多，因为要让灯的数量少，必须要让灯的间距大。在375米空间内安装灯，有375=灯的数目×两灯间距。间距必须为375的约数，同理也必须为225的约数，也就是为375与225的公约数，要让它尽可能大就应为375与225的最大公约数。即75米。按照公式计算：600÷75=8。8-1=7(不含端点直线上的植树公式)。